SESIONES TEÓRICAS ESTADÍSTICA Y MÉTODO TIC: TEMA 7

TEMA 7: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD: Conceptos básicos. Distribución y reglas básicas de la  probabilidad. Teorema de Bayés. Distribución de  probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución  de probabilidad continua: normal o campana de Gauss.

Probabilidad​

​​​La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos se contraponen a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas:​

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• Determinístico:  si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. ​

• Aleatorio: como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda y obtener un determinado resultado (donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida). ​​

El concepto de probabilidad es muy frecuente para comunicarnos  y entendernos. Por ejemplo:  las probabilidades de sobrevivir a una operación son del 50%;  un paciente que ingresa en el hospital “A” tiene un 15% de padecer una  infección hospitalaria o durante este invierno la prevalencia de enfermedades respiratorias es del  13%. 13 de cada 100 ciudadanos padece una enf.respiratoria durante el  invierno.

Hay dos categorías amplias de interpretaciones de las probabilidades las cuales pueden ser llamadas probabilidades:​

•  "Físicas” = objetivas​.

• “Evidenciales”, subjetivas o personalistico​.​

En la primera encontramos: clásico: por ejemplo la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda o de que salga uno al lazar un dado o frecuencia relativa o posteriori (enfoque empírico), como por ejemplo, probabilidad de volar y tener un accidente.​

La segunda es subejtiva, por ejemplo, ¿ Cuál es la probabilidad de que haya vida en Marte?

Probabilidad subjetiva o personalística​

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

Probabilidad clásica o “a priori”

La probabilidad clásica es aquella en la que todos los casos posibles de un evento tienen la misma probabilidad de ocurrir. Estos son, si un dado normal es lanzado, la probabilidad de que caiga un 1 es igual a 1/6, y es lo mismo para los otros cinco lados​. La regla de Laplace es tremendamente importante, puesto que nos permite calcular la probabilidad de un suceso, siempre que los sucesos elementales sean equiprobables, es decir, que todos los resultados posibles tengan la misma probabilidad​.

¡Atención! Debemos tener en cuenta que esta regla sólo funciona cuando todos los casos son equiprobables. NO es válido un razonamiento como el siguiente:​ queremos calcular la probabilidad del suceso A="ser atropellado por un tranvía". Sólo hay dos casos posibles, "ser atropellado" y "no ser atropellado". Hay un caso favorable, "ser atropellado". Por tanto, la probabilidad es de P(A)=12.​ Esto significaría que cada vez que saliéramos a la calle, tendríamos el 50% de probabilidad de ser atropellados. El error está, por supuesto, en que los dos sucesos no tienen la misma probabilidad.

Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se  excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de  esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de  ocurrencia de E es igual a m/N.​

P(E) =​𝒎​/𝑵.

Ley de los grandes números

La probabilidad a priori de que salga un número en el dado es 1/6= 16,6%

Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse pero si repetimos muchas veces el experimento,la frecuencia relativa de un suceso A,cualquiera,tiende a estabilizarse en torno al valor "a priori".

Probabilidad relativa o “a posteriori”​

Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.

P(E)=m/n (si n es suficientemente grande).

Dicho de otra forma, si el número de determinaciones (repeticiones de un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica.

Probabilidad frecuencial=Nº de veces que se obtiene el resultado que se estudia/Nº de repeticiones del experimento.

Eventos o sucesos

Son conceptos fundamentales en PROBABILIDAD.​

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• Experimento = (En Probabilidad): Determinista (no depende del azar ejemplo maceta) / Aleatorio (depende del azar ejemplo dados)​.​

• Suceso elemental: cada uno de los posibles resultados. Cara o cruz si tiro una moneda​.​

• Espacio muestral: El conjunto de los sucesos elementales, es decir todos los resultados. Se representa por E o S, también con omega mayúscula​.​

• Suceso compuesto: Cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: números impares de un dado A = 1,3,5​.​

• Eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles. Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.​

Sucesos. Tipos:​

• Sucesos independientes: Lanzar dos dados, tener 20 años y los ojos azules.​

• Sucesos dependientes: Ej. Extraer dos cartas de una baraja sin reposición, por ejemplo ser mujer y sufrir cáncer de mama.

Propiedades de las probabilidades

-P(A∪B): Cuando dos sucesos se excluyen mutuamente

     P(A∪B)= P(A) + P(B)

-P(A∪B): Cuando dos sucesos no se excluyen mutuamente

P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩B)

Por ejemplo 4 mujeres,4 hombres,2 mujeres rubias y 2 hombres rubios

A=sexo B=rubios/as

¿Probabilidad de ser rubia o mujer? Aplicando la fórmula 4+4-2=6

-P(A∩B): Cuando A y B son eventos independientes(la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro)

 P(A∩B)= P(A)*P(B)

Reglas básicas:Teoría de la probabilidad

Las probabilidades siempre oscilan entre 0 y 1

La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso

  P (A´)= 1-P(A)

La probabilidad de un suceso imposible es 0

La unión de A y B es:

      P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

La probabilidad condicionada de un suceso A a otro B se expresa:

P(A/B)=P(A∩B)/P(B)      SI P(B) DISTINTO DE 0

P(B/A)=P(A∩B)/P(A)      SI P(A) DISTINTO DE 0

Teorema de Bayes

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.

P(A/B)=P(B/A)*P(A)/P(B/A)*P(A)+P(B/A')*P(A')

A'=No A

Si tengo dolor de cabeza(B),probabilidad de tener gripe(A)

Distribución de probabilidad en variables discretas: Binomial y Poisson

Distribución binomial(variables discretas)

La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas

– Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo…)

– El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

– La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .

– El experimento consta de un número n de pruebas.

Distribución de Poisson(variables discretas)

Poisson: médico miliar francés que estudia en el s.XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo

– También se llama la distribución de probabilidad de casos raros

Utilidad

1.En sucesos impredecibles o de ocurrencia aleatoria.

2.Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

3.Cuando la muestra(n) es grande y probabilidad de éxito(p) es pequeña.

4.La probabilidad del evento se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia,área,volumen o tiempo definido.

Distribuciones normales

Los valores centrales como la media,mediana,moda serán similares en el centro. Gauss en su teorema:

-Si sigue una distribución normal y le sumamos y restamos el valor de una desviación típica se va a encontrar el 68,26%

-Si sigue una distribución normal y le sumamos y restamos el valor de dos desviaciones típicas se va a encontrar el 95,45%

-Si sigue una distribución normal y le sumamos y restamos el valor de tres desviaciones típicas se va a encontrar el 99,73%

Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:

– ± 1S →68,26% de las observaciones

– ± 2S→ 95,45% de las observaciones

– ± 1,95S →95% de las observaciones

– ± 3S →99,73% de las observaciones

 – ± 2,58S→99% de las observaciones

Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss

La tipificación de la valores se puede realizar sí …

Trabajamos con una variables continuas que:

– Sigue una distribución normal (Teorema Límite Central)

– Y tiene más de 100 unidades (Ley Grandes Números)

La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia

Z=X-X(media)/s

Para finalizar esta entrada me gustaría recomendar el álbum de la banda bosnia Dubizoa Kolektiv, Dunnamite.